Ou seja: perímetro = 2*pi*raio
Em binário, pi = 11.001 001 000 011 111 101 ...
Foi Euler quem primeiro usou a letra para designar este valor.
Johann Lambert provou que pi é irracional.
Lindemann, em 1882, provou que pi é transcendental, ou seja, não pode ser a raiz de qualquer equação algébrica com coeficientes racionais e um número finito de termos.
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pi é o coeficiente do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro. Ou seja: perímetro = 2*pi*raio |
No Antigo Testamento, o 1º Livro dos Reis implica que pi é igual a 3.
Na Babilónia, por volta de 2000 A.C., supôs-se que pi seria 3 1/8.
No Egipto, em 1500 A.C., Ahmes afirmou que pi seria ou seja 3.16049...
Arquimedes encontrou a aproximação 22/7.
Na China, Tsu Ch'ung-Chi e seu filho afirmaram que pi estaria próximo de 355/113 (3.1415929...)
Fracções que se aproximam cada vez mais de pi:
François Viète, o pai da álgebra moderna, mostrou em 1592, pela primeira vez, uma fórmula para pi:
Ou:
John Wallis descobriu:
Isaac Newton calculou 16 casas decimais utilizando apenas 22 termos da série seguinte:
Em 1673 Leibniz descobriu que:
ou seja, a expansão da série arctan(1).
O que também dá para calcular com integral:
Esta série é notável pela sua simplicidade, mas é desesperadamente ineficiente como
meio de calcular pi, devido a ser necessário calcular algumas centenas de termos para obter algumas casas
decimais.
Em 1949, o ENIAC (primeiro computador electrónico) calculou pi com 2037 casas decimais em 70 horas.
Actualmente, qualquer PC pode calcular 1 milhão de casas em menos de 5 minutos.
A tarefa de calcular tantas casas decimais quantas as possíveis nunca perdeu o seu fascínio.
Qual é o objectivo de tal cálculo?
Há quem diga que é para ver se há regularidades na sequência de digitos.
Por exemplo: nas casas 359, 360, e 361 surge 3-6-0.
Mas, numa sequência infinita de digitos, (quase) todos os padrões podem aparecer mais cedo ou mais tarde.
Probabilidades: O conde Georges Buffon (1707-1788) mostrou que, se uma agulha for largada de uma altura aleatória
para uma superfície paralela de uma régua, sendo o comprimento da agulha equivalente à distância
entre as linhas, a probabilidade de a agulha cair perpendicularmente à régua é 2/pi. Pi surge
aqui porque o problema envolve ângulos.
Outras fórmulas para pi:
Com primos:
Fórmula de Machin:
Fórmula de Rutherford:
Fórmula de Arquimedes (?!): onde n é o número de raizes quadradas.
Agora, para os amantes do cálculo do pi, aqui está um algoritmo que tem a espantosa propriedade de duplicar o número de digitos a cada ciclo de cálculos.
Com este algoritmo poderia obter-se 1 milhão de casas decimais com apenas 19 ciclos de cálculos. Claro que para isso todas as operações também teriam que ser feitas com 1 milhão de digitos.
| Valores iniciais para as variáveis | Esta parte é executada apenas uma vez |
N <-- 1
A <-- 1
B <-- 1/raiz(2)
C <-- 1/4
|
N <-- 1 Significa que a variável N vai ficar com o valor 1 |
| Início do ciclo | Esta parte é executada muitas vezes |
A0 <-- A
B0 <-- B
A <-- (A0+B0)/2
B <-- raiz(A0*B0)
C <-- C-N*(A-A0)^2
N <-- 2*N
((A+B)/2)^2
IMPRIMIR -------------
C
Voltar ao início do ciclo
|
Se o valor impresso no fim do ciclo ainda não for suficiente, recomeça-se os cálculos no início do ciclo |
Este é um algoritmo ao estilo clássico. Há outros algoritmos mais adequados ao cálculo de muitos digitos: eles imprimem, em cada ciclo, apenas os novos digitos calculados.
Recorde em 1999: Y. Kanada calculou pi com 200 mil milhões de digitos.
Frases mnemónicas:
| 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 |
Foi o amor à minha tendência de treinar gatos que virou mistério |
| 3,14159 26535 8979 32384626 43383279 |
Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages. Immortel Archimède, artiste, ingénieur. Qui de ton jugement peut priser la valeur? Pour moi, ton probleme eut de pareils avantages! |
| 3,14159 265358 979 323846 |
Sir, I bear a rhyme excelling In mystic force and magic spelling Celestial sprites elucidate All my own striving can't relate |
Clicka aqui para ver um algoritmo calcular milhares de digitos do pi.